Mathématiques

Cours Exhaustif : Mathématiques

I. La Fonction Exponentielle

La fonction exponentielle de base \( a \) (avec \( a > 0 \)) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \( x \mapsto a^x \).

La fonction exponentielle de base \( e \) est l'unique fonction \( f(x) = e^x \) qui vérifie \( f'(0) = 1 \) et \( f'(x) = f(x) \). On a \( e \simeq 2,72 \).

Propriétés Algébriques

Pour tous réels \( x \) et \( y \), et \( a > 0 \) :

\( a^0 = 1 \) et \( a^1 = a \)
\( e^x > 0 \) (L'exponentielle est toujours strictement positive)
\( e^x \times e^y = e^{x+y} \)
\( \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \)
\( (e^x)^y = e^{x \times y} \)
\( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \)

Simplification :
\( \frac{e^3 \times e^{-4.1}}{e^{0.5}} = \frac{e^{-1.1}}{e^{0.5}} = e^{-1.1 - 0.5} = e^{-1.6} \)

Développement :
\( (e^x - 3)^2 = (e^x)^2 - 2 \times e^x \times 3 + 3^2 = e^{2x} - 6e^x + 9 \)

Limites de l'exponentielle :
\( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \).

II. La Fonction Logarithme Népérien (\( \ln \))

Le logarithme népérien d'un réel \( a > 0 \), noté \( \ln(a) \), est l'unique solution de l'équation \( e^x = a \). La fonction \( \ln \) est la fonction réciproque de l'exponentielle.

Propriétés du Logarithme

Définie uniquement sur \( ]0 ; +\infty[ \)
\( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \)
\( \ln(e^x) = x \) et \( e^{\ln(x)} = x \) (pour \( x > 0 \))
\( \ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b) \)
\( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b) \)
\( \ln(a^n) = n \times \ln(a) \)

Résolution d'inéquation : \( 2 - 4e^{2x} \le 5 \)
\( \iff -4e^{2x} \le 3 \)
\( \iff e^{2x} \ge -\frac{3}{4} \)
Or, une exponentielle est toujours strictement positive ! Donc \( e^{2x} \ge -0.75 \) est toujours vrai. La solution est \( S = \mathbb{R} \).

III. Les Limites et Croissances Comparées

L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition (ex: en \( +\infty \) ou en \( 0 \)).

Limites Usuelles (Exponentielle et Ln)

Exponentielle :

\( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \)
\( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \)

Logarithme Népérien :

\( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \) (Asymptote verticale en \( x = 0 \))
\( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)

Croissances Comparées

En cas de forme indéterminée \( \infty / \infty \) ou \( 0 \times \infty \), l'exponentielle "l'emporte" toujours sur les puissances de \( x \), et les puissances de \( x \) "l'emportent" sur le logarithme.

Ordre de force : \( e^x \gg x^n \gg \ln(x) \)

\( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \) (L'exp gagne au numérateur)
\( \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0 \) (L'exp gagne, elle tend vers 0)
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \) (\( x \) gagne au dénominateur)
\( \lim_{x \to 0^+} x \cdot \ln(x) = 0 \) (\( x \) gagne, elle tend vers 0)

IV. Les Nombres Complexes

Un nombre complexe \( z \) s'écrit sous forme algébrique \( z = a + ib \), où \( a \) est la partie réelle, \( b \) la partie imaginaire, et \( i^2 = -1 \).

Module et Argument

Dans le plan complexe, le point \( M(a,b) \) a pour affixe \( z \).

Conjugué : \( \bar{z} = a - ib \)
Module (Distance OM) : \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Argument (Angle) : \( \arg(z) = \theta \). On a \( \cos(\theta) = \frac{a}{|z|} \) et \( \sin(\theta) = \frac{b}{|z|} \).
Forme Trigonométrique : \( z = |z| (\cos\theta + i\sin\theta) \)
Forme Exponentielle : \( z = |z| e^{i\theta} \)

Équation du premier degré : \( 2iz - 4 = 5 - i \)
\( \iff 2iz = 9 - i \)
\( \iff z = \frac{9 - i}{2i} \)
Pour enlever le \( i \) au dénominateur, on multiplie en haut et en bas par le conjugué (\( -2i \)) :
\( z = \frac{(9 - i)(-2i)}{(2i)(-2i)} = \frac{-18i - 2}{4} = -0.5 - 4.5i \)

IV. Primitives et Intégrales

Si \( F \) est une primitive de \( f \), alors \( F'(x) = f(x) \). Il existe une infinité de primitives pour une fonction (qui diffèrent toutes d'une constante \( k \)).

Fonction \( f(x) \)	Primitive \( F(x) \)
\( x^n \) (avec \( n \ge 1 \))	\( \frac{x^{n+1}}{n+1} \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( \frac{1}{x} \)	\( \ln(x) \)
\( u' \cdot e^u \)	\( e^u \)
\( \frac{u'}{u} \)	\( \ln(u) \)

L'Intégrale d'une fonction positive sur \( [a,b] \) correspond à l'aire sous la courbe entre \( a \) et \( b \).

Calcul d'intégrale

\( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \)

V. Équations Différentielles

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une FONCTION (notée \( y \)) et sa dérivée (notée \( y' \)).

Équation de type \( y' + a y = 0 \)

Solutions : \( f(x) = C \cdot e^{-ax} \) avec \( C \in \mathbb{R} \).

Équation de type \( y' + a y = b \)

Solutions : \( f(x) = C \cdot e^{-ax} + \frac{b}{a} \).

VI. Taux d'évolution

Évolution Globale

Coefficient Multiplicateur : \( CM = 1 + \frac{p}{100} \)

\( CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \dots \)

Pourcentage global : \( p = (CM_{global} - 1) \times 100 \)

Mathématiques

Analyse (Fonctions, Intégrales, Équa. Diff.) et Nombres Complexes.

Analyse & Fonctions

1. Exponentielle

Produit

\( e^{x+y} = e^x \cdot e^y \)

Puissance

\( (e^x)^y = e^{x \cdot y} \)

Signe

\( e^x > 0 \) toujours

2. Logarithme (Ln)

Produit

\( \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) \)

Quotient

\( \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \)

Puissance

\( \ln(a^n) = n \cdot \ln(a) \)

3. Dérivées Composées

Logarithme d'une fonction

\( (\ln(u))' = \frac{u'}{u} \)

Exponentielle d'une fonction

\( (e^u)' = u' \cdot e^u \)

Limites, Primitives & Intégrales

1. Limites & Croissances Comparées

Limites \( e^x \)

en \( -\infty \to 0 \)

en \( +\infty \to +\infty \)

Limites \( \ln(x) \)

en \( 0^+ \to -\infty \)

en \( +\infty \to +\infty \)

Croissances Comparées (Force)

\( e^x \gg x^n \gg \ln(x) \)

Exemple : \( \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty \)

2. Primitives & Intégrales

Primitive de \( x^n \)

\( \frac{x^{n+1}}{n+1} \)

Primitive de \( 1/x \)

\( \ln(x) \)

Théorème de l'Intégrale

\( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \)

Nombres Complexes

1. Formes du nombre complexe

Algébrique

\( z = a + ib \)

Exponentielle

\( z = |z| e^{i\theta} \)

2. Module et Argument

Module (Distance)

\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

Conjugué

\( \bar{z} = a - ib \)

Équations Différentielles

Sans second membre : \( y' + ay = 0 \)

\( f(x) = C \cdot e^{-ax} \)

Avec second membre : \( y' + ay = b \)

\( f(x) = C \cdot e^{-ax} + \frac{b}{a} \)

C est une constante réelle déterminée par les conditions initiales.